Housz https://www.housz.cn/ Feynman Technique Wed, 30 Sep 2026 08:56:54 GMT https://validator.w3.org/feed/docs/rss2.html https://github.com/jpmonette/feed zh-CN All rights reserved 2026, Housz <![CDATA[vim常用操作]]> https://www.housz.cn/article/vim-recipes https://www.housz.cn/article/vim-recipes Fri, 02 Jul 2021 00:00:00 GMT

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🗒️
Robot：机器人描述文件
🗒️
Robot：obj模型
🗒️
Robot：冗余约束
 
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notion image
 
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在线测试平台：

https://simdemos.housz.cn/robot/demos/customise/index.html
 

单个obj测试

首先导入一个简单的立方体（box123.obj），立方体x,y,z方向尺寸分别为：1，2，3。box123.obj文件如下：

box123.obj

编写一个简单的固定关节（fixed），把这个obj模型放在场景中观察（把test.json和box123.obj保存到本地并同时上传到测试平台）：

test.json

notion image
 

obj+关节

用一个滑动关节推动这个box123进行伸缩。
编写描述文件prismatic_single_obj.json：

prismatic_single_obj.json

 
notion image
俯视图示意：
notion image
注意joint2的"origin_translation": [2.5, 0, 0]。
]]> <![CDATA[Robot：机器人描述文件]]> https://www.housz.cn/article/robot-description https://www.housz.cn/article/robot-description Sat, 01 Jun 2024 00:00:00 GMT
一个多关节级联的实例。（按住左键拖动转动视角，按住右键拖动任意移动视角，滚轮放大缩小。右侧滑动条可自由控制关节角度）

0 预备知识

 

0.0 符号约定

坐标系

采用右手坐标系。面向屏幕时，屏幕右方为x轴正方向，上方为y轴正方向，屏幕往外是z轴正方向：
notion image
一般约定坐标系红色为x轴，绿色为y轴，蓝色为z轴（xyz依次对应RGB）。

单位制

角度采用弧度制，浮点数，取值范围为R。例如下图中，向量(0,0,1)绕z轴旋转了π/2到(0,1,0) 。
notion image
长度单位为米，浮点数，取值范围为R。
颜色采用RGB格式，每个分量为浮点数，取值范围为[0, 255]。

0.1 JSON格式

JSON格式是一种通用的纯文本数据交换格式，常用于程序之间传递格式化的信息。相比于XML等其他数据格式，JSON能兼顾人类理解和机器解析的效率。目前绝大多数编程语言都能方便地对JSON格式进行读写。
JSON由两种数据结构构成：对象（object）和数组（array）。

对象（object）

对象由键值对组成的无序集合，键是字符串，值可以是任何类型，包括对象和数组。对象由一对花括号{ }包围，键和值之间用冒号:分隔。键值对之间用逗号,分隔。
例如描述一个学生的信息：
 

数组（array）

数组是值（value）的有序集合，每个值可以是任何类型，包括对象和数组。数组由一对方括号[ ]包裹，值之间用逗号,分隔。
例如给这个学生加入课程信息：
 
嵌套
对象和数组之间可以任意嵌套使用。例如创建一个联系方式的对象：
给学生加入联系方式：

1 机器人拓扑结构

1.0 定义：开链和闭链机器人

首先直观定义开链和闭链机器人。例如一个挖掘机是一个典型的闭链机器人。
notion image
因为它有由液压油缸组成的闭环结构，如图中的三个三角形：
notion image
而开链机器人没有这样的闭环结构，例如典型的机械臂型机器人：
notion image
notion image
本节首先考虑不含闭环结构的开链机器人结构。

1.1 拓扑结构

开链机器人的结构可以用树形结构来描述：
notion image
图中的方块表示机器人的部件（link），黄点表示连接部件的关节（joint)。
我们可以用树的数据结构来表示机器人的拓扑结构。图中的节点（node）表示机器人的部件，边（edge）表示机器人的关节。
notion image
notion image
可以观察到整个拓扑图的特点：
  • 没有环状结构；
  • 除第一个节点外（机器人底座部件对应的节点），每个节点都对应唯一的一个父节点，二者通过唯一的一个关节来连接。可认为底座部件的父节点为世界（world）。
 

2 开链机器人的描述

2.0 刚体运动

我们把机器人的每个部件当作理想刚体，即只能进行移动（translation）和转动（rotation），而不能进行任何变形。
例如拿出机器人的任意一个部件，把这个部件简化为一个长方体来考虑：
notion image
 
假设图中黄色点为这个部件的坐标原点（坐标原点的选取约定见2.1节）：
notion image
三维空间中的自由刚体可以做：沿x，y，z轴任意移动、绕x，y，z轴任意转动，因此三维空间自由刚体有六个自由度。
这里说的”六个自由度“可以简单理解为：给出六个坐标（移动距离translation = {x, y, z}和旋转角度orientation= {x, y, z}）就能唯一确定这个刚体的空间位姿（位置+姿态）。

刚体运动举例

①绕z轴旋转一定角度θ：
notion image
这个运动是：绕初始坐标系的z轴正向旋转了θ度，可以表示为：
orientation= {0, 0, θ}, translation = {0, 0, 0}
②沿x轴移动一定距离Δx：
notion image
注意这些运动都是相对于初始坐标系来讲的。任何时候考虑刚体运动首先都要确定参考系。
这个运动是：沿着x轴方向移动了Δx，可以表示为：
orientation= {0, 0, 0}, translation = {Δx, 0, 0}

刚体运动合成*

刚体的运动不一定只有移动或者只有转动，更常见的情况是又有移动又有转动。
注意，我们始终是站在初始坐标系的角度来考虑运动，因此”先旋转再平移“和”先平移再旋转“是不同的。下图左边为先旋转再平移，右边为先平移再旋转。
notion image
我们约定采用先旋转再平移的变换。上图左边的运动为先旋转了θ度到位形①，又沿着x轴平移了Δx到位形②。②描述为：
orientation= {θ, 0, 0}, translation = {Δx, 0, 0} 。
*这种旋转+平移的变换统称为刚体变换，可用4x4矩阵变换矩阵表示。参考：
Rotation matrix - Wikipedia
Transformation matrix - Wikipedia
krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf

2.1 机器人部件描述

知道了如何描述基本的刚体运动，我们就可以用JSON格式化描述一个具体的部件了。
下面是一个关节部件的例子,接下来逐条解释各个属性.

名字（name）

首先为部件定义唯一的名字（name）。注意部件以名字为唯一标识符，不能与其他部件重名。

部件偏移量

再为部件定义相对于其自身坐标系的平移（origin_translation）和旋转（origin_orientation）。一般默认没有任何运动即可。

模型（visual）

定义部件的外观模型（visual）。

几何偏移量

首先解释visual里面的origin_translation和origin_orientation属性。
通常,在使用blender之类的建模软件或者用代码生成三维模型时,会把模型原点放在坐标原点(0, 0, 0),如下图:
notion image
假设我们要让这个模型绕z轴旋转π/4 (图中蓝色为旋转轴示意图):
notion image
notion image
而很多机械部件的旋转轴并不在部件中心,更普遍的是在部件的某一侧.如下图机械臂的某部件:
notion image
 
因此,如果部件的模型原点不和旋转轴重合,就要定义一个偏移量,来让程序知道正确的旋转轴位置.
 
如下图,让模型相对于模型原点沿x轴移2,再绕z轴旋转π/4 :
notion image
notion image
这就对应着描述文件里的:
旋转偏移量origin_orientation也是同理.
注意,下面的情况origin_translation和origin_orientation都为[0,0,0]即可:
  • 模型文件生成后,模型原点已经和旋转轴原点重合.(方便起见,推荐生成模型时就让模型原点就已经和旋转轴原点原点重合).如何链接外部文件见下一小节.
  • "geometry"的"type"为”box””cylinder”等系统预设的基础几何体,例如:

    几何体(geometry)

    再介绍描述几何体信息的"geometry"属性:
    几何体“type”属性定义了几何体的类型信息.可分为:
    • 基本集合体(简单的几何形状)，如长方体（box），圆柱体（cylinder）等。只需要描述几何参数即可.
        • 例如xyz方向尺寸分别为3, 0.2, 0.2的长方体（box）.系统会根据尺寸自动生成模型：
        notion image
        （此处可以看出如果，"box"的模型原点在最左侧，不需要手动设定偏移）
        再例如半径分别为0.2，0.1，高度为2的圆柱体（cylinder）：
        notion image
        （此处可以看出，圆柱体默认是沿着x方向躺着的，模型原点在底部）
    • 外部链接模型（暂时只支持.obj格式），“type”为“mesh”类型：
        • 例如，外部连接一个机械臂部件：
        其中"url"指定模型路径，"scale"指定在xyz方向上的缩放比例

    材质(geometry)

    暂时支持自定义模型的颜色"color"属性。下面是同一个模型分别为[0, 120, 10]和[120, 10, 0]的效果：
    notion image
    notion image
    todo：支持obj格式的贴图

    2.2 机器人关节描述

    notion image
    notion image
    notion image
    交互实例（按住左键拖动转动视角，按住右键拖动任意移动视角，滚轮放大缩小。右侧滑动条可自由控制关节角度）：
    以上图最简单的旋转关节为例。图中白色圆柱是关节的示意图，表示其允许绕z轴转动。
    我们依然用一个简单的图示来表示：
    notion image
    对于一个关节joint，它的作用是连接两个独立的部件（link）。
    • 一个joint有且仅有一个父link、有且仅有一个子link。这个例子中，joint1的父子部件分别为link0和link1。
    • joint控制其对应的子link的运动。这个例子中，可以理解为joint1旋转，绑在其上的link1随着它旋转。通常joint1可被称为link1的关节。
    • joint对于其子link的位置就是子link原点的位置（参考visual的几何偏移量）。joint相对于其父link的位置由关节偏移量定义（见下）
    接下来就以这个例子，逐条解释关节的每个属性。

    名字（name）

    首先为关节定义唯一的名字（name）。注意，和部件一样，关节以名字为唯一标识符，不能与其他关节重名。

    父节点和子节点（parent, child)

    为关节指定它连接的父子部件（这里体现了命名必须唯一，否则无法正确找到父子部件）：

    类型（type）

    关节的类型，目前支持三种关节：
    • 转动关节（revolute）：部件间绕某轴相对转动
    • 滑动关节（prismatic）：部件间沿某轴相对移动
    • 固定关节（fixed）：固定两个部件的相对位置
    后文会分别说明这三种关节的用法。

    关节偏移量

    notion image
    joint相对于父link原点的位姿由origin_translation和origin_orientation两个偏移量定义。若两个都是[0,0,0]则link0和link1原点就会重合：
    notion image
    此处我们可以看出，joint的位姿是相对于其父link原点的相对坐标：
    notion image
    这里joint2连接link1和link2。joint2的偏移量是

    轴（axis）

    分类讨论三种关节的轴：
    1 转动关节（revolute）
    我们规定，一个转动关节只能绕其自身xyz轴的某一个轴旋转。"axis"定义为：
    效果如下：
    notion image
    notion image
    notion image
    2 滑动关节（prismatic）
    同样，滑动关节也只能沿着xyz轴的某一个轴平移。"axis"定义为：
    例如下面为沿x轴运动的油缸，只允许关节在x方向移动。
    notion image
    3 固定关节（fixed）
    固定关节不需要定义轴，直接省略"axis"属性即可。
     

    限位（limit）

    现实中的机械结构不可能转动到任意角度或滑动到任意位置，例如人的胳膊弯曲的角度是有上下限的、液压油缸行程也是有上下限的。分类讨论三种关节的限位：
    1 转动关节（revolute）
    定义转动关节旋转角度的上限"lower"和下限"upper"，都是弧度制的度数。例如最高向正方向转π/2 ，最低向负方向转π/2 .
    效果如下：
    notion image
    notion image
    2 滑动关节（prismatic）
    定义滑动关节平移距离的上限"lower"和下限"upper"。例如最高向正方向移动2.0 ，最低向负方向转移动-2.0。
    效果如下：
    notion image
    notion image
    3 固定关节（fixed）
    固定关节不需要定义限位，直接省略"limit"属性即可。

    特殊情况：根部件

    每个部件都有其对应的关节，如上面的link1的关节是joint1.但是图中并未有link0所对应的关节，因为link0本身已经是根节点，没有父节点。
    为link0定义一个抽象的父节点base_link。link0通过joint0和base_link连接。
    概念上可认为base_link绑定在场景的世界坐标的原点处。base_link是一个虚拟的概念，并不存在几何实体。
    notion image
    base_link只是抽象概念，不需要定义。
    joint0定义为一个fixed关节，定义如下：
    parent为base_link，系统就会认为这个joint为根节点的joint。
    偏移量origin_translation和origin_orientation定义了joint0相对于base_link的偏移，而base_link是世界坐标的原点，因此我们通过这两个偏移量控制整个机器人的世界坐标。下面的例子中可滑动joint0的位置xyz转动xyz来查看改变机器人世界坐标的效果。
    下面是转动关节的实例（轴为z轴，限位范围[π/2,π/2]）：
    下面是滑动关节的实例（轴为x轴，限位范围[-2, 2]）：

    2.3 完整的机器人描述

    有了机器人的部件（link）和关节（joint），我们就能把他们组成一个完整的机器人了。

    例子1：旋转部件

    下面是一个完整的机器人描述文件，有两个部件，一个旋转关节：

    描述文件和运行效果

    下面是这个描述文件定义的机器人：
    可以看出，一个机器人文件是一个JSON对象，由一对{}包围，一共有四个属性：
    • 名字（name）
    • 部件（links）
    • 关节（joints）
    • 约束（constraints）
    下面解释这个对象的各个属性。

    名字（name）

    首先为这个机器人定义名字（name）
     

    部件（links）

    是一个数组，保存了机器人的所有部件。这里我们有两个，link0和link1
     

    关节（joints）

    是一个数组，保存了机器人的所有关节。这里我们有两个：连接base_link和link0的joint0，连接link0和link的joint1：
     

    约束（constraints）

    是一个数组，保存了机器人的所有约束。这里暂时为空，第四节会具体介绍。
     

    例子2：滑动部件

    下面是一个完整的机器人描述文件，有两个部件，一个滑动关节：

    描述文件和运行效果

    下面是这个描述文件定义的机器人：

    例子3：自己尝试编写一个描述文件😃

    这里有一个可以自己上传机器人描述文件（.json格式）的在线程序：
    把上面两个例子的机器人描述保存为一个本地的.json文本文件。点击左上角按钮，上传这个文件看看效果。然后尝试自己修改.json里的部件、关节参数，加入新的部件、关节，上传查看效果。（暂不支持外部链接obj模型）。

    3 正向运动学*

    todo

    4 闭环结构

    前面讨论的都是开链接机器人，接下来讨论带闭环结构的闭链机器人。
    这里暂时只讨论带有油缸结构的“三角闭环”。如下图起重机。
    notion image
    分析这个三角闭环结构的拓扑结构：
    notion image
    notion image
    下面为实例，拖动constraint0的length来伸缩油缸。
    我们把构成这一整个三角形闭环的部件和关节统称为一个约束（constraint）。
    这个约束里包括部件：
    • 基座部件lifting_base
    • 悬臂arm
    • 油缸的活塞杆piston_rod
    • 油缸的肛管cylinder_tube
    关节：
    • 连接lifting_base和arm的关节L
    • 连接lifting_base和cylinder_tube的关节A
    • 连接arm和piston_rod的关节B
    这些约束和关节的定义和之前的格式一样。我们描述一个约束只需要指定这三个关节L、A、B即可。

    4.1 三角闭环结构描述格式

    约束描述

    下面是对这种三角形约束的描述格式：
    • 名字（name）：这个约束的名字，不能和其他约束重名
    • 类型（type）：目前只有这一种约束，写triangle-prismatic即可
    • jointL
    • jointA
    • jointB
    • 初始长度（length）：如下图，jointA到jointB的初始长度，即油缸两端的初始距离
    • 限位（limit）：油缸两端距离的最大最小值。
    notion image
     

    完整的机器人描述文件

    对比观察场景和描述文件中的部件和关节描述信息。

    有多个约束的复杂例子

     

    4.2 三角闭环约束求解*

    todo

    5 逆向运动学*

    todo

    5.0 逆向运动学原理*

    todo
    解析法
    数值法

    5.1 解析法求解*

    todo
    ]]>         <![CDATA[微分算子及其离散化4：拉普拉斯]]> https://www.housz.cn/article/grad-div-curl-laplace-3 https://www.housz.cn/article/grad-div-curl-laplace-3 Sat, 15 Jun 2024 00:00:00 GMT

    4 拉普拉斯 Laplace , ,

    定义

    三维空间拉普拉斯算子 Laplace（三种写法： 或 或 ）定义：
    作用于标量函数：
    可看作由梯度算子和散度算子 复合而成。首先对求梯度：
    再对梯度求散度：
    拉普拉斯即：标量场梯度的散度。

    直观理解

    函数的“弯曲程度”。

    现在有两个一维函数（图中蓝色）和（图中红色）。
    notion image
    观察在附近的函数“弯曲程度”，显然红色更弯曲。
    这里说的某点更弯曲，可以认为是周围邻居的值和该点取值有更大的差异。如考虑的两个邻居和处，红色平均取值为2，平均取值和处差异为2；对于蓝色，平均取值和处差异为1.
    定量衡量所谓“弯曲程度”的方法最简单的就是二阶导数。
    显然在处的二阶导更大，也更“弯曲”。
    一维函数的二阶导给了一种定量描述方案。自然地推广到高维，把多维函数每个分量的二阶导数相加，用来衡量函数的“弯曲程度”。
    例如二维函数（图中蓝色）和（图中红色）：
    notion image
    显然对于（0，0）点处，红色弯曲程度更大。，.

    梯度的散度

    由微分算子的定义，我们知道拉普拉斯的作用是得到标量场梯度的散度。
    函数值域某点的梯度是一个向量，方向是该点函数增长最快的方向，大小(模长)是增长的速率。梯度的每个分量（）都是一个标量，分别表示沿着坐标轴（x、y、z）的变化率。取值为正则沿着坐标轴正方向增长，取值为负则沿着坐标轴负方向增长。
     
    例如函数在(1,0)处的梯度为，在值域xy平面上画出：
    notion image
    考虑（0，0）周围间距为1的格子区域（图中方框代表区域边界）。
    黑色箭头表示的梯度指向方框外部，说明(1,0)点有向区域外增长的“趋势”。把梯度向坐标轴投影，可以看出只有垂直区域边界的分量（蓝色）对这种往外扩张的趋势有贡献。
    我们把函数（蓝色）和（红色）的梯度在区域边界同样标出：
    notion image
    直观看出红色比蓝色的扩张更强，这也正符合图像中红色函数“弯曲程度”更大。如何定量衡量向量场中某点的“扩张程度”，或“扩散趋势”大小？向量场的散度正符合这种需求。因此对标量函数的梯度场求散度的物理意义就是衡量其各点的“弯曲程度”。
    对上图中梯度场做有限差分，以红色为例：（右边界值-左边界值）/ 左右差分距离 + （上边界值-下边界值）/ 上下差分距离 = (4-(-4))/2+(4-(-4))/2 = 8.
    更直观地，一维度函数梯度的散度：
    notion image
    考虑x=0左右邻居格子。红色函数梯度的散度为(4-(-4))/2=4.

    加权平均

    再
     
     
     
    调和函数
     
     
    举例：热传导方程
     
    ]]>